Semi-conducteurs, dopage et jonction p-n

Le chapitre précédent s’est terminé sur un matériau qui n’est ni un bon conducteur ni un bon isolant : le silicium pur, avec une bande interdite de 1,12 eV et une résistivité environ 10¹¹ fois celle du cuivre. C’est cette position intermédiaire qui le rend utile. La conductivité du silicium peut être changée d’un facteur un million en ajoutant quelques atomes d’impuretés, et changée localement, si bien qu’un même cristal contient côte à côte des régions de natures différentes. Là où deux natures se rencontrent, on obtient une jonction p-n : la diode, la LED, la cellule solaire, et la moitié de chaque transistor.

Tanenbaum s’arrête juste au-dessus de ce niveau : son chapitre sur les portes dit seulement qu’un transistor peut fonctionner comme un interrupteur binaire très rapide, et laisse le « comment » au niveau des composants. Ce chapitre et le suivant sont ce « comment ».

Le cristal de silicium

Le silicium est dans la colonne IV du tableau périodique : chaque atome a quatre électrons externes (de valence). Dans un cristal, chaque atome partage un électron avec chacun de ses quatre voisins, formant quatre liaisons covalentes disposées en tétraèdre. Le motif se répète tous les 0,5431 nm (le paramètre de maille), avec huit atomes par cube élémentaire :

a = 0.5431e-7                      # lattice constant, cm
n_Si = 8 / a**3
print(n_Si)                        # 4.99e+22 atoms per cm³

Chaque électron de valence est engagé dans une liaison. C’est la théorie des bandes du chapitre précédent dite en termes chimiques : les électrons des liaisons remplissent la bande de valence, et en libérer un — casser une liaison — demande au moins l’énergie de la bande interdite, 1,12 eV à température ambiante.

Électrons et trous

Quand la chaleur casse une liaison, elle crée deux porteurs, pas un seul. L’électron libéré part dans la bande de conduction et porte du courant. La liaison qu’il a quittée manque d’un électron : c’est un trou. Un électron d’une liaison voisine peut sauter dans le trou, ce qui déplace le trou dans l’autre sens. En pratique, un trou se comporte comme une particule de charge +e qui se déplace dans la bande de valence. Un semi-conducteur conduit avec les deux.

Dans le silicium pur (intrinsèque), électrons et trous sont créés par paires, donc il y en a autant de chaque. Leur densité à 300 K, la concentration intrinsèque nᵢ, est d’environ 10¹⁰ par cm³ :

ni = 1e10                          # cm⁻³ at 300 K
print(ni / n_Si)                   # 2.0e-13

Environ un atome sur cinq mille milliards a perdu un électron. D’où la si mauvaise conductivité du silicium pur. Ce nombre est aussi très sensible à la température — il suit le facteur exp(−Eg / 2kT) du chapitre précédent —, ce qui rend le silicium intrinsèque inutilisable pour des circuits fiables. Il faut un moyen de fixer délibérément le nombre de porteurs.

Électrons et trous ne se déplacent pas aussi facilement les uns que les autres. Leur mobilité — vitesse de dérive par unité de champ électrique — vaut environ 1 400 cm²/(V·s) pour les électrons dans du silicium faiblement dopé, et environ 450 pour les trous. Les électrons sont à peu près trois fois plus mobiles, un fait qui se retrouve dans la taille des transistors de Construire des portes en CMOS, au niveau du dessus.

Le dopage : type n et type p

Doper consiste à remplacer une infime fraction des atomes de silicium par des atomes d’une colonne voisine :

• Le phosphore (ou l’arsenic), de la colonne V, a cinq électrons de valence. Quatre vont dans les liaisons ; le cinquième est à peine retenu, par environ 45 meV, moins de deux fois kT à température ambiante. Presque chaque atome de phosphore le cède à la bande de conduction. Le phosphore est un donneur, et le silicium dopé au phosphore est de type n : son courant est porté surtout par des électrons, négatifs.
• Le bore, de la colonne III, n’en a que trois. Une liaison reste à court d’un électron, et un électron voisin vient la compléter facilement (là encore environ 45 meV), créant un trou mobile. Le bore est un accepteur ; le silicium dopé au bore est de type p, et conduit surtout par des trous, positifs.

Dans les deux cas, l’atome dopant lui-même reste fixé dans le réseau, sous forme d’ion : positif pour un donneur qui a cédé son électron, négatif pour un accepteur qui en a capté un.

Les niveaux de dopage dans les puces vont d’environ 10¹⁵ à plus de 10²⁰ atomes par cm³. Prenons un dopage modéré de 10¹⁶ :

e = 1.602176634e-19
Nd = 1e16                           # phosphorus atoms per cm³
print(n_Si / Nd)                    # 5.0e+06: one P atom per 5 million Si atoms
rho_n = 1 / (e * Nd * 1250)         # electron mobility at this doping ≈ 1250
rho_i = 1 / (e * ni * (1400 + 450))
print(rho_n, rho_i, rho_i / rho_n)  # 0.50 ohm·cm, 3.4e+05 ohm·cm, ratio 6.8e+05
print(ni**2 / Nd)                   # 1e+04 holes per cm³

Un atome d’impureté pour cinq millions divise la résistivité par environ 680 000. Et l’autre type de porteur disparaît presque : à l’équilibre, le produit des densités d’électrons et de trous reste égal à nᵢ², donc avec 10¹⁶ électrons par cm³, il ne reste que 10⁴ trous. Dans le silicium de type n, les électrons sont les porteurs majoritaires et les trous les porteurs minoritaires ; dans le type p, c’est l’inverse.

Le dopage se fait par implantation ionique — en projetant des ions dopants dans la tranche de silicium avec une énergie contrôlée —, suivie d’un recuit qui répare le cristal, à travers les ouvertures d’un masque. C’est ainsi qu’un même cristal de silicium reçoit des régions n et p à quelques nanomètres les unes des autres. L’ensemble du procédé relève de Du sable à la puce, au niveau des composants.

Deux façons de bouger : dérive et diffusion

Les porteurs se déplacent pour deux raisons :

• la dérive : un champ électrique les pousse — les électrons à contre-courant du champ, les trous dans son sens. C’est le courant de la loi d’Ohm du chapitre précédent ;
• la diffusion : là où les porteurs sont plus concentrés, leur agitation thermique désordonnée les disperse vers les régions où ils sont plus rares, comme de l’encre dans l’eau. Aucun champ n’est nécessaire.

Dans un morceau de silicium dopé uniformément, seule la dérive compte. À la frontière entre une région n et une région p, c’est la diffusion qui prend le dessus.

La jonction p-n

Placez côte à côte, dans un même cristal, du silicium de type n et du silicium de type p. Le côté n est plein d’électrons, le côté p plein de trous. Les électrons diffusent vers le côté p, les trous vers le côté n, et ils se rencontrent et se recombinent : un électron tombe dans un trou, et les deux disparaissent.

Il reste, de part et d’autre de la frontière, une couche mince vidée de ses porteurs mobiles : la zone de déplétion (ou zone de charge d’espace). Ce qui y demeure, ce sont les ions dopants fixes : donneurs positifs côté n, accepteurs négatifs côté p. Leur charge crée un champ électrique dirigé de n vers p, qui s’oppose à la poursuite de la diffusion. L’équilibre est atteint quand la poussée du champ compense exactement la diffusion. La tension à travers la zone de déplétion est le potentiel de diffusion (built-in potential) :

V_bi = (kT/q) × ln(N_A × N_D / nᵢ²)

import math
Vt = 1.380649e-23 * 300 / e                  # kT/q = 0.02585 V
Na = Nd = 1e16
Vbi = Vt * math.log(Na * Nd / ni**2)
eps_si = 11.7 * 8.8541878128e-14             # F/cm
W = math.sqrt(2 * eps_si * Vbi / e * (1/Na + 1/Nd))
print(Vbi, W * 1e4)                          # 0.714 V, 0.43 µm
# with Na = Nd = 1e18: Vbi = 0.95 V, W = 50 nm

Avec 10¹⁶ de chaque côté, la jonction établit environ 0,71 V à travers une zone de déplétion de 0,43 µm de large. Un dopage plus fort la rend plus mince : environ 50 nm avec 10¹⁸ de chaque côté. Impossible de mesurer cette tension avec un voltmètre — les contacts avec le métal l’annulent —, mais elle gouverne tout ce que fait la jonction.

La diode

Appliquez une tension extérieure, et la jonction se comporte très différemment dans les deux sens. C’est une diode :

• Polarisation inverse (+ côté n) : la tension extérieure s’ajoute à la tension interne. La barrière grandit, la zone de déplétion s’élargit, et presque aucun courant ne passe — seulement un minuscule courant de saturation IS dû aux rares porteurs minoritaires qui s’égarent dans le champ. Poussez assez fort (de quelques volts à des centaines, selon le dopage), et la jonction claque et conduit massivement.
• Polarisation directe (+ côté p) : la tension extérieure annule une partie de la barrière interne. Le nombre de porteurs assez énergétiques pour la franchir croît exponentiellement, en suivant le facteur de Boltzmann du chapitre précédent.

Le résultat est l’équation de la diode :

I = I_S × (exp(qV / nkT) − 1)

où n, le facteur d’idéalité, est compris entre 1 et 2 (1 pour une diode idéale). Une exponentielle signifie qu’à chaque pas fixe de tension, le courant est multiplié par un facteur fixe. Pour n = 1, le pas qui multiplie le courant par 10 vaut :

print(Vt * math.log(10) * 1000)             # 59.5 mV per decade at 300 K

Chaque tranche de 59,5 mV de tension directe multiplie le courant par dix. Prenons une petite diode au silicium avec IS = 10⁻¹⁴ A (un ordre de grandeur typique ; il dépend de la surface de la jonction) :

Is = 1e-14
for I in (1e-6, 1e-3, 1e-2):
    print(I, Vt * math.log(I / Is + 1))
# 1 µA: 0.476 V    1 mA: 0.655 V    10 mA: 0.714 V

Entre 1 µA et 10 mA — quatre décades —, la tension ne bouge que de 0,48 à 0,71 V. D’où l’idée qu’une diode au silicium passante « fait chuter environ 0,6 à 0,7 V » : en dessous, le courant est négligeable ; au-dessus, il est énorme. La même exponentielle à 60 mV par décade, née du facteur de Boltzmann, reviendra dans le chapitre sur le MOSFET comme la limite de fuite qui a mis fin à des décennies de baisse des tensions.

À courant fixé, la tension directe baisse aussi d’environ 2 mV par degré Celsius. Les puces s’en servent : un capteur de température intégré est en général une jonction dont on compare la tension à une référence. Des diodes protègent aussi chaque broche d’une puce contre les décharges électrostatiques, en détournant l’étincelle vers les rails d’alimentation plutôt qu’à travers les transistors.

La figure d’inverseur de Tanenbaum utilise un transistor bipolaire, qui est constitué de deux jonctions dos à dos (n-p-n ou p-n-p) avec une couche centrale mince ; le livre note que la technologie MOS a largement pris le dessus, et aujourd’hui pratiquement toute la logique est faite de MOSFET, le sujet du chapitre suivant. Les transistors bipolaires survivent dans les circuits analogiques et radio.

La lumière : LED et photodiodes

Quand un électron retombe à travers la bande interdite dans un trou, l’énergie qu’il cède, environ Eg, doit aller quelque part. Dans certains semi-conducteurs, elle part sous forme de photon, une particule de lumière dont la longueur d’onde est fixée par l’énergie : λ = hc/E, ou, en unités pratiques, λ (nm) = 1239,84 / E (eV).

C’est une diode électroluminescente (LED) : une jonction polarisée en direct dans un matériau où la recombinaison produit de la lumière. Il faut pour cela une bande interdite directe, où un électron peut tomber droit dans un trou. Celle du silicium est indirecte : la transition exige aussi une vibration du réseau pour équilibrer la quantité de mouvement, ce qui est si improbable que l’énergie finit presque toujours en chaleur. C’est pourquoi on ne fait pas de LED en silicium, mais en composés des colonnes III et V :

Une LED blanche est une LED bleue en InGaN recouverte d’un luminophore jaune : une partie de la lumière bleue est absorbée et réémise en jaune, et le mélange paraît blanc. Il a fallu attendre le début des années 1990 pour obtenir des LED bleues efficaces ; Akasaki, Amano et Nakamura ont reçu pour cela le prix Nobel de physique 2014. Chaque rétroéclairage blanc et chaque flash de téléphone en dépend.

Faites fonctionner le processus à l’envers et vous obtenez une photodiode : un photon d’énergie supérieure à la bande interdite casse une liaison et crée une paire électron-trou, que le champ interne de la jonction sépare en un courant. Un capteur d’appareil photo, ce sont des millions de photodiodes au silicium (voir Claviers, écrans, imprimantes et caméras, au niveau des composants). Une cellule solaire en est une très grande.

Le tableau explique deux détails pratiques. Le silicium absorbe la lumière jusqu’à 1107 nm, au-delà de l’extrémité rouge du visible (environ 700 nm) : les capteurs d’appareils photo voient donc le proche infrarouge, et les appareils ont besoin d’un filtre anti-infrarouge pour rendre les couleurs correctement. Et les longueurs d’onde de 1310 et 1550 nm utilisées dans les fibres optiques — des photons de 0,95 et 0,80 eV — sont sous la bande interdite du silicium : le silicium leur est transparent. Les récepteurs pour fibre utilisent donc des détecteurs en germanium ou en arséniure de gallium-indium, tandis que la photonique sur silicium fait de cette transparence un atout en guidant la lumière dans des guides d’onde en silicium sur la puce. Le chapitre sur les signaux traite des fibres elles-mêmes.

Pourquoi le silicium ?

Le premier transistor, construit aux Bell Labs en 1947 par Bardeen et Brattain, était en germanium, qui a une bande interdite plus petite (0,66 eV) et des porteurs plus mobiles. Le silicium l’a emporté pour deux raisons. Sa bande interdite plus large laisse beaucoup moins de porteurs thermiques, donc ses circuits fuient moins et continuent de fonctionner à plus haute température : à température ambiante, le germanium compte environ 2 × 10¹³ porteurs intrinsèques par cm³, quelque deux mille fois plus que le silicium. Et le silicium dispose d’un excellent isolant naturel : chauffé sous oxygène, il se couvre d’une couche de dioxyde de silicium chimiquement stable, parfaitement adhérente, avec une bande interdite de 9 eV. L’oxyde de germanium, lui, se dissout dans l’eau. Le MOSFET, l’interrupteur au cœur de chaque puce, est construit sur cet oxyde.

À retenir

• Le silicium a quatre électrons de valence et 5 × 10²² atomes par cm³. À 300 K, seuls environ 10¹⁰ par cm³ sont libérés thermiquement, chacun laissant un trou — un porteur mobile positif.
• Le dopage fixe délibérément les porteurs : le phosphore donne des électrons (type n), le bore en capte en créant des trous (type p). Un dopant pour 5 millions d’atomes divise la résistivité par près d’un million ; n × p reste égal à nᵢ².
• Là où n rencontre p, la diffusion laisse une zone de déplétion d’ions fixes et un potentiel de diffusion (environ 0,71 V pour un dopage 10¹⁶/10¹⁶) qui arrête la diffusion.
• Une diode conduit dans un sens et bloque dans l’autre. Le courant direct croît exponentiellement : ×10 tous les 59,5 mV à 300 K, d’où la « chute » de 0,6 à 0,7 V des diodes au silicium.
• Dans les composés III-V à bande interdite directe, la recombinaison émet de la lumière de longueur d’onde λ (nm) ≈ 1240 / Eg (eV) : les LED. À l’envers, une jonction transforme la lumière en courant : photodiodes, capteurs d’image, cellules solaires. Le silicium absorbe en dessous de 1107 nm et est transparent aux longueurs d’onde des fibres.
• Le silicium l’a emporté sur le germanium grâce à sa bande interdite plus large et à son superbe oxyde natif, SiO₂.